 Moment-Generating Function
Moment-Generating Function 以下簡稱 MGF。
這裡有關 MGF 的應用，主要是用作找出某一種形態分佈( Distributions )的第一( Mean )及第二( Variance ) Moment。
MGF ﹕
Mx( t ) = E( e t x ) = Σx e t x f( x )
f(x) 是指某一種形態分佈。
用法十分簡單，首先將某形態分佈的函數式，代入 MGF 中。
當想找 First Moment 時，只要 d Mx(t) / d t。
當想找 Second Moment 時，只要 d2 Mx(t) / d t2。
如此類推。
| Binomial Moments |
MGF ﹕Mx( t ) = E( e t x ) = Σe t x f( x )
Binomial 的函式﹕ nCr p x q n-x
因此，
Mx( t ) = Σe t x nCr p x q n-x
= Σ nCr ( e t p ) x q n-x
<=== nCr A x B n-x = ( A + B ) n
=Σ ( e t p + q ) n
= ( e t p + q ) n
Determine the First Moment about the Origin
Determine the Second Moment about the Origin
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| Poisson Moments |
MGF ﹕Mx( t ) = E( e t x ) = Σe t x f( x )
因此，
Determine the First Moment about the Origin
Determine the Second Moment about the Origin
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| Normal Moments |
MGF ﹕Mx( t ) = E( e t x ) = Σe t x f( x )
因此，
註﹕
Determine the First Moment about the Origin
Determine the Second Moment about the Origin
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