[回古典線性回歸模式] [回計量經濟學] [回樹仁 經濟本部]


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Classical Linear Regression Model




Economics

樹仁 經濟學友仔

解說



 
Estimation of σ2

在處理回歸模式時，除了β1 . . . βk 是一些未知的參數之外，還有一個重要的，就是 在基礎假設中，var( u ) = σ2 I 中的 σ2。

σ2 是來自干擾( Disturbance ) u 的，但 u 是不可能知道的，於是借用 e ( error )來代替。
以下，首先要找出 e 與 u 的關係。

e = y - X b
   = y - X ( X' X )-1 X' y
   = ( I - P ) y     , P = X ( X' X )-1 X'
e = M y

   = M ( X β + u )
   = M X β + M u
e = M u    , MX = 0

M 與 P 都是屬於 Idempotent Matrix。

以下將會嘗試找出σ2 的方程式。

e' e / σ2 = u' M' M u / σ2
              = u' M u / σ2 ~ χ r2

r = rank( M )
  = trace( M )
  = trace ( I - P )
  = trace ( I ) - trace ( P )
r = n - k

e' e / σ2 = u' M u / σ2 ~ χ n - k2

根據理論，E( χ2 ) = Degree of Freedom ，那麼
E( e' e / σ2 ) = n - k
E[ e' e / ( n - k ) ] = σ2

  



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