 Multiplier-Accelerator Model 乘數 - 加速模型 〔Lv 8〕
一個簡單的三個部門模式，
Y t = C t + I t + G
Y t 是 t 時(現時)的國民收入，它由三個部份組成﹔
C t 是 t 時(現時)的消費，它受上一年的收入影響﹔
C t = γ Y t - 1
γ即是 mpc ，1 > γ > 0 。
I t 是 t 時(現時)的投資，它受消費影響﹔
I t = α ( C t - C t - 1 )
α > 0，是一個定數。
I t = α ( γ Y t - 1 - γ Y t - 2 )
G 是政府支出，它是一個定額的支出，年年一樣。
那麼國民收入即是﹕
Y t = γ Y t - 1 + α ( γ Y t - 1 - γ Y t - 2 ) + G
Y t = γ Y t - 1 + α γ Y t - 1 - α γ Y t - 2 ) + G
Y t = γ ( 1 + α ) Y t - 1 - α γ Y t - 2 + G
Y t - γ ( 1 + α ) Y t - 1 + α γ Y t - 2 = G
以上的方程式，已經轉成了「Second Order Difference Equation」的模樣。
如果給予一些參數的數值，便可以知道，當 Y 增加後，能否返回均衡。
如﹕G = 100 ，α = 1， γ = 0.5 ，Y 0 = Y 1 = 100
這是一個簡單的 Constant coefficients & Constant Term Case ，Y( t ) = Y p + Y c
Particular Integral Y p ﹕
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Y p = G / [ 1 - γ ( 1 + α ) + α γ ]
= G / ( 1 - γ )
= 100 / 0.5
= 200
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Complementary Function Y c ﹕
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Complex Roots Case:
Y c = R t ( A 1 cos θt + A 2 sin θt )
R = ( α γ )0.5 = 0.5 0.5
θ = π / 4
Y c = 0.5 0.5 t ( A 1 cos π t / 4 + A 2 sin π t / 4 )
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Y( t ) = 0.5 0.5 t ( A 1 cos π t / 4 + A 2 sin π t / 4 ) + 200
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當 Y 0 = 100
Y( 0 ) = A 1 + 200 = 100
==> A 1 = - 100
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當 Y 1 = 100
Y( 1 ) = 1 / 2 A 1 + 1 / 2 A 2 + 200 = 100
==> A 2 = - 100
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最終，找出﹕
Y( t ) = 0.5 0.5 t ( - 100 cos π t / 4 - 100 sin π t / 4 ) + 200
如果 t 趨向無限大，Y( t ) 會趨向 200 ，
那麼，即是隨著時間不停地流逝，Y( t ) 會走到他的均衡水平 ( 200 )。
因此，這是一個擁有穩定 ( Stable ) 均衡的模型 ( Model )。
當然，如果初時給與的參數數值不同的話，結果未必如上，有可能變成一個不穩定的模型。
由於時間及編幅的關係，不能把所有參數的組合做各一次，只能用一個表表示。
擁有穩定均衡的參數組合
Case 1)
[ γ ( 1 + α ) ] 2 > 4 α γ |
要求﹕
a ) γ ( 1 + α ) - ( α γ )0.5 < 1
&
b ) ( α γ )0.5 < 1
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Case 2)
[ γ ( 1 + α ) ] 2 = 4 α γ |
要求﹕
a ) γ ( 1 + α ) < 1
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Case 3)
[ γ ( 1 + α ) ] 2 < 4 α γ |
要求﹕
a ) ( α γ )0.5 < 1
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